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2. Calculer les limites suivantes si elles existent a lim _(zarrow 0)(vert zvert ^2)/(z) b lim _(zarrow -2i)((2z+3)(z-1))/(z^2)-2z+4 3. Calculer u et v(z=x+iy;w=u+iv) si a. . w=z^3 b. w=(1+z)/(1-z)

Question

2. Calculer les limites suivantes si elles existent a lim _(zarrow 0)(vert zvert ^2)/(z) b lim _(zarrow -2i)((2z+3)(z-1))/(z^2)-2z+4 3. Calculer u et v(z=x+iy;w=u+iv) si a. . w=z^3 b. w=(1+z)/(1-z)

2. Calculer les limites suivantes si elles existent a lim _(zarrow 0)(vert zvert ^2)/(z) b lim _(zarrow -2i)((2z+3)(z-1))/(z^2)-2z+4 3. Calculer u et v(z=x+iy;w=u+iv) si a. . w=z^3 b. w=(1+z)/(1-z)

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GeraldVeteran · Tutor for 9 years

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1. a) Calculer la limite $\lim _{z\rightarrow 0}\frac {\vert z\vert ^{2}}{z}$<br /><br />La limite existe et est égale à 0.<br />Explication :<br />Lorsque z tend vers 0, le numérateur $\vert z\vert ^{2}$ tend également vers 0, car la valeur absolue d'un nombre tend vers 0 lorsque ce nombre tend vers 0.<br />Le dénominateur z tend aussi vers 0.<br />Donc le rapport $\frac {\vert z\vert ^{2}}{z}$ tend vers 0 lorsque z tend vers 0.<br /><br />b) Calculer la limite $\lim _{z\rightarrow -2i}\frac {(2z+3)(z-1)}{z^{2}-2z+4}$<br /><br />La limite existe et est égale à $\frac {-5}{4}$.<br />Explication :<br />En remplaçant z par -2i dans l'expression, on obtient :<br />$\frac {(2(-2i)+3)((-2i)-1)}{(-2i)^{2}-2(-2i)+4}$<br />$= \frac {(-4i+3)(-3i)}{4i^{2}-4i+4}$<br />$= \frac {12i+9}{4-4i+4}$<br />$= \frac {12i+9}{8-4i}$<br />$= \frac {12i+9}{8-4i} \cdot \frac {8+4i}{8+4i}$<br />$= \frac {(12i+9)(8+4i)}{64+16i}$<br />$= \frac {96i+72+48i+36}{64+16i}$<br />$= \frac {144i+108}{64+16i}$<br />$= \frac {-108+144i}{64+16i}$<br />$= \frac {-108}{64+16i} + \frac {144i}{64+16i}$<br />$= \frac {-108}{80} + \frac {144}{80}i$<br />$= -\frac {27}{20} + \frac {18}{20}i$<br />$= -\frac {5}{4}$<br /><br />2. a) Calculer u et v si $w=z^{3}$<br /><br />Soit $z=x+iy$ et $w=u+iv$<br />Alors $w=z^{3}=(x+iy)^{3}$<br />En développant, on obtient :<br />$w=u+iv=(x^{3}-3xy^{2})+i(3x^{2}y-y^{3})$<br />Donc $u=x^{3}-3xy^{2}$ et $v=3x^{2}y-y^{3}$<br /><br />b) Calculer u et v si $w=\frac {1+z}{1-z}$<br /><br />Soit $z=x+iy$ et $w=u+iv$<br />Alors $w=\frac {1+z}{1-z}=\frac {1+x+iy}{1-x-iy}$<br />En développant, on obtient :<br />$w=\frac {(1+x)+iy}{(1-x)-iy}=\frac {(1+x)+(1-x)i}{(1-x)^{2}+y^{2}}$<br />Donc $u=\frac {1+x}{(1-x)^{2}+y^{2}}$ et $v=\frac {y}{(1-x)^{2}+y^{2}}$
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